让旋转开出“旋转之花”

让旋转开出“旋转之花”

  一、巧用“旋转”的性质求边 
  在《旋转》一章中,有这样一道大家熟知的例题 
  如图1,E上是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,△ADE顺时针旋转9,画出旋转后的图形。 
  关键是确定△ADE三个顶点的对应点,即它们旋转后的位置.显然,点A的对应点是它本身.由正方形的性质易知,旋转后点D与点B重合设点E的对应点为E’,因旋转前后的图形全等,故∠ABE’=∠ADE=9,BE’=DE。如图2,在CB的延长线上取点E’,使BE’=DE,连接AE’,则△ABE’即为所求。 
  由于正方形具有一些特殊性质,所以对上述题目实施多角度、全方位的变式,成为各地中考试卷的重“题眼”下面举例说明。 
  例1巳知正方形ABCD中,点E在边DC上,DE=2,EC=1,把线段AE绕点A旋转,使点E落在直线BC上的点F处,则F,C两点的距离为________. 
  解析有的同学可能会作出如卡错误的解答如图3,FC=FB+BC=5,賴法出现以偏概全的错误题中只说“直线BC的点”,故需分两种情况讨论如图4所示,当点F在线段BC上时,旋转得到F1点,则F1C=1;当点F在线段CB的延长线上时,旋转得到F2点,则F2B=DF=2,F2C=F2B+BC=5.综上可知,F,C两点的距离为1或5. 
  点评本例考查学生对旋转概念的全面理解,在分情况讨论上设置了陷阱。 
  二、巧用“旋转”的性质求角 
  根据旋转的性质,我们知道对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度相等,对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变,在性质中“对应线段的长度相等,对应角的大小相等”,我们可以利用这个性质将求的角转换成求旋转图形的对应角,然而图形在“旋转”运动中,往往会产生特殊的图形,我们再通过这些特殊的图形来求对应角,进而求未知角,这样问题就迎刃而解了。通过“旋转”运动,可以将毫无思路的问题明朗化,有助于他们找到准确的解题思路或方向,达到事半功倍的作用。我们一起来看这样的一个例子 
  如图1,P为正方形ABCD内一点,且 PA=1,PB=2,PC=3. 求∠ APB 的度数。 
  分析我们分析题目,发现题目所给的 条件是边长,而所求的是角度,显然,只 有将这些边长组合成特殊三角形(直角三角 形或等腰三角形),通过特殊三角形的已知 角来求未知角。想构造特殊三角形,我们 知道,通过“旋转”运动可以得到,从而化 未知角为已知角来解决问题。又因为所给的 图形是正方形,我们发现,正方形的边长是 相等的,旋转时有一条对应边正好与正方形 的另一边重合,形成了对应的图形△CMB, 从而可将求∠ APB 转化成求对应角∠ CMB。 且在“旋转”运动的过程中,构成了两个 特殊的三角形,即等腰直角△PBM、直角 △PMC,正好∠CMB由∠BMP和∠PMC组成, 把∠ BMP 和∠ PMC 放在△ PBM 和△ PMC 中看问题,我们的问题就可以巧妙的解决啦! 具体解答过程如下 
  解法一因为四边形ABCD为正方形, 所以 BA=BC,将△ APB 绕点 B 顺时针方向旋 转 9°,则点 A 与点 C 重合,设点 P 落到的 位置为点M,得到△CMB,连接PM,由旋转可知 
  △ APB ≌△ CMB. 
  ∴∠ 3= ∠ 1,∠ CMB= ∠ APB. MC=PA=1,MB=PB=2. 
  ∵四边形 ABCD 为正方形 . 
  ∴∠ 1+ ∠ 2= ∠ ABC=9° . 
  ∴∠ 3+ ∠ 2=9° . 
  即△ PMB 为等腰直角三角形 . 
  ∴ PM=,PB=2 , ∠ BMP=45° 又 在 △ PMC 中, PM2 + CM2 = 2 (2)2 +12=8+1=9, PC2 =32=9. 
  ∴ PM2 + CM2 = PC2 , 
  ∴∠ PMC=9°. 
  ∴∠ CMB= ∠ PMC+ ∠ BMP 
  =9°+45°=135°. 
  ∴∠ APB=135°. 答∠ APB 的度数是 135°。 
  解 法 二 同 理, 如 图 2, 
  我 们 将 △PBC绕点B逆时针方向旋转9°,则 点C与点A重合,设点P落到的位置为点 M,得到△AMB,连接PM,由旋转可知 △BPC≌△BMA.此旋转方法也可以解决同 样的问题。 
  “旋转”的性质在几何证明中不仅仅只 有这些,它在其他方面也有比较广泛的运用, 本文只是结合教学过程中出现的一些问题, 总结了一下自己的经验与心得体会,目的更 多的是醒自己今后在教学中,不仅仅把 目光放在如何应付眼前的考试,只是教会学 生如何画图是不够的,还应该启发学生们如 何运用“旋转”运动的知识来巧解几何问题, 熟练掌握图形运动的性质和特点,发散学生 的思维,高他们思考问题的能力,培养他 们对数学的兴趣,为今后的学习做准备。